Bloque 2

Probabilidad Simple y Conjunta

Probabilidad simple

Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.

Es cuando se analiza una sola característica.

P(A) = (Numero de eventos que tiene la caracteristica A / total de resultados posibles) = (n(A) / Total de resultado)

Probabilidad conjunta

Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con dos o más características.

Es cuando se analiza dos o más características al mismo tiempo.

P(AnB) = (Numero de eventos con las caracteristicas A y B/Total de resultados posibles) =  (n (A y B)/ total de resultados) = (Probabilidad conjunta/U)

                                                    

Suma de probabilidades

Se utiliza cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra el evento con la característica A, el evento con la característica B o ambos, se representa como P(A o B)  =  P(A È B).

Para eventos mutuamente excluyentes la regla es:

    P(A o B) = P(AuB) = P(A) + P(B) = (n(A) + n(B)/ total de resultados)   = (probabilidad simple + probabilidad simple/U)

Para eventos que no son mutuamente excluyentes la regla es:

  P(A o B) = P(AuB) = P(A) + P(B) - p(AnB) = (n(A) + m(b) - n(A y B)/total de resultados) = (prob. Simple y probabilidad+ probabilidad simple - prob, conjunta.)                        

                                                                                                    

Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que un segundo evento A ocurra, si el primer evento B ya ha ocurrido, se denota P(A / B) y se lee ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A si ya ocurrió el evento B?

En este tipo de probabilidad, siempre se conocerá una característica y se va a calcular la probabilidad de que ocurra la otra característica. Además la característica conocida, determina la parte del espacio muestral que se va a utilizar como denominador.

              

          P(A/B) = (P( AnB )/P(B)) = (Numero de eventos con las caracteristicas de A y B/ numero de eventos con la caracteristicas B)  = (n(A y B) / n(B)) = (probabilidad conjunta/probabilidad simple).

Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes

Ya habíamos comentado algo sobre los eventos mutuamente excluyentes, lo cito aquí: “Los eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir cuando realizamos una prueba”. Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes. Pensemos en el ejemplo de la baraja inglesa y en los siguientes eventos:

Eventos no excluyentes

• Sacar un 5  y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.
• Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.
• Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.

Para los tres ejemplos es posible encontrar por lo menos una carta que hace posible que los dos eventos ocurran a la vez.

Eventos mutuamente excluyentes

• Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.
• Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.
• Sacar una carta de tréboles roja.  Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.

No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez.

Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes

 Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente laocurrencia del otro evento (o eventos).

Ejemplo

:Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.Dos o más eventos son no excluyentes, oconjuntos, cuando es posible que ocurranambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en formasimultánea.

Ejemplo

:Si consideramos en un juegode domino sacar al menos un blanco y un seis, estoseventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.

Reglas de la Adición

 La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dossucesos A y B es igual a:P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)

si A y B son mutuamente excluyente

 P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B)

si A y B son no excluyentes

 Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

Evento mutuamente excluyente:

Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo

EVENTOS DEPENDIENTES, INDEPENDIENTES Y CONDICIONALES

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)


Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:
P(AlB)

EJRCICIOS

1. P(A B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente excluyentes, A B = y entonces
   P(A ó B) = P(A B) = P(A) + P(B)
   = P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.
2. P(A) + P(A^c) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(A^c):
   P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13
3. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen itersección no vacía: A B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es
   P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
   = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6
4. P(A B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es
   P(A y B) = P(A B) = P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6)
   = 1/12
5. P(A B) = P(A)•P(B/A). ó P(B/A) = P(A B)/ P(A) [P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?
   Debemos calcular P(as/corazón). La probabilidad de "as y corazón" es 1/52. La probabilidad de corazón es 13/52.
   Luego, P(as/corazón) = P(as y corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.
6.  Supóngase que A y B son dos eventos independientes de un experimento. Si P(A È B) = 0.6  y  P(A) = 0.4, calcular P(B).
   
   
   Solución
   
   
   Sabemos que  P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B).  Como A y B son independientes, entonces  P(A Ç B) = P(A) P(B).  Sustituyendo obtenemos:
   
   
   P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = P(A) + P(B) [1-P(A)]  y  despejando:
   
   
    
7.  Se lanza una moneda legal 3 veces y se analiza la independiente o dependiente entre:
   a)      Los tres eventos siguientes.
   b)    Dos de los tres eventos siguientes.
   
   
   A = {x | x es el primer lanzamiento es cara}
   B = {x | x es el segundo lanzamiento es cara}
   C = {x | x es se lanzan exactamente dos caras seguidas}
   
   
   Solución
   
   
   Empecemos por construir el espacio muestral del experimento.
   
   
   S= {(CCC), (CC+), (C+C), (+CC), (C++), (+C+), (++C), (+++)}
   
   
   Como hay 8 posibles resultados, entonces N = 8.  Ahora analicemos cada evento con su posibilidad respectiva.
   
   
   A = {(CCC), (CC+), (C+C), (C++)};            n(A) = 4;         P(A) = 4/8 = 0.5
   B = {(CCC), (CC+), (+CC), (+C+)};                        n(B) = 4;            P(B) = 4/8 = 0.5
   C = {(CC+), (+CC)};                                    n(C) = 2;         P(C) = 2/8 = 0.25
   
   
   y para las intersecciones se tiene.
   
   
   (AÇB) = {(CCC), (CC+)};                n(AÇB) = 2;               P(AÇB) = 2/8 = 0.25
   (AÇC) = {(CC+)};                             n(AÇC) = 1;               P(AÇC) = 1/8 = 0.125
   (BÇC) = {(CC+), (+CC)};                 n(BÇC) = 2;               P(BÇC) = 2/8 = 0.25
   (AÇBÇC) = {(CC+)};                       n(AÇBÇC) = 1;            P(AÇBÇC) = 1/8 = 0.125
   
   
   
   
   Ahora ya contamos con los datos requeridos para probar si hay dependencia o independencia entre los eventos.
   
   
   a)      Probemos para los 3 eventos. Si hay independencia se debe de cumplir que:
   
   
   P(A Ç B Ç C) = P(A) P(B) P(C)
   
   
   Sustituyendo valores tenemos        0.125       ¹ (0.5) (0.5) (0.25)
   
   
   y como no se cumple la igualdad, concluimos que los eventos son dependientes.
   
   
   b)      Ahora analicemos los eventos de 2 en 2:
   
   
   Para A y B. Como P(A Ç B) = P(A) P(B), ya que 0.25 = (0.5) (0.5), los eventos Ay B son independientes.
   
   
   Para A y C tenemos que P(A Ç C) = P(A) P(C) porque 0.125 = (0.5) (0.25), los eventos A y C son independientes.
   
   
   Para B y C se cumple que P(B Ç C) ¹ P(B) P(C), ya que 0.25 ¹ (0.5) (0.25), los eventos B y C son dependientes. 
8.  Una empresa recibe 25 solicitudes para ocupar una vacante. Entre las solicitudes hay 10 hombres (H), 15 que tienen título de licenciatura (L) y 5 que son hombres y tienen título de licenciatura. Diga que los eventos H y L son independientes o dependientes.
   
   
   Solución
   
   
   Se tienen los siguientes datos: N = 25;  n(H) = 10;  n(L) = 15;  n(H Ç L) = 5, con los cuales obtenemos: P(H) == 0.4;  P(L) =  = 0.6;  P(H Ç L) =  = 0.2.
   
   
   Para que haya independencia se debe de cumplir que  P(HÇL) = P(H) P(L)
   
   
   Sustituyendo valores se tiene que   0.2  ¹  (0.4)(0.6), por lo que se concluye que los eventos son dependientes.
    
   
   
   
   
   9.Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
   
   
   
   
   
   10. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
   1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
   
   
   
   2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
   
   

   
   

   11.  Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
   1La probabilidad de que salga el 7.
   
   
   2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
   
   3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
   
   

   
   

   12.  Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
   1Salga 6 en todos.
   
   2Los puntos obtenidos sumen 7.
   
   
   Probabilidad condicionada
   Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
   Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.
   

   Ejemplo

   Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
   

   Sucesos independientes

   Dos sucesos A y B son independientes si
   p(B/A) = p(B)

   Sucesos dependientes

   Dos sucesos A y B son dependientes si
   p(B/A) ≠ p(B)
   Ejercicio resuelto
   

   
   

   13.  Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar:
   1
   
   2
   
   3
   
   4
   
   5